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b) Strukturelle Bestandteile der Nervenzellen Dendriten: Aufnahme von Information permeable Ionenkanäle für Na -, K -, Ca -Ionen synaptische Spalte Zellkörper (Soma): Informationsverarbeitung (Summation dendritischer Signale) Axone: Informationsweiterleitung Übertragung eines Aktionspotentials (Spike) gesteuert durch eine Na -, K -Ionenpumpe an der Zellmembran Synapsen: Informationsspeicherung Beispiel: Hebbsches Lernen Modifikation der Synapseneffizienz durch die Rate des präsynaptischen Erregungsangebotes (Menge des Neurotransmitters Glutamat) dauerhafte Reduktion der Blockade postsynaptischer Dendriten- Rezeptoren durch Mg -Ionen aufgrund starker Erregung (Änderung der Reizschwelle) c) Verbunde von Nervenzellen Bildung einer Strukturhierarchie: Säulen, Schichten, Systeme 2 1.1 Das biologische Neuron Rezeptive Felder sind lokale Netze Verbindungen untereinander relativ schwach, aber mit vielen anderen Neuronen verbunden (10 9 Synapsen pro mm 3 ), siehe Tabelle 1.2 zyklische Verschaltung: nach 4-5 Neuronen wird das Ausgangsneuron erreicht starke Rückkopplung (rückwärts gerichtete Verschaltung) Beispiel: seitliche Kniehöcker (LGN/Corpus geniculatum laterale) verschalten die Netzhaut (Retina) mit der primären Sehrinde und erhalten 90% ihres Inputs durch Rückkopplung mit der primären Sehrinde d) Eigenschaften neuronaler Informationsverarbeitung langsam im Vergleich zu elektronischen Schaltelementen (msec - nsec); dennoch Echtzeitfähigkeit des Gesamtsystems sehr simple Prozessoren ; dennoch Realisierung komplexer nichtlinearer Prozesse Bildung hochkomplexer Systeme durch massive Parallelität, hohe Vernetzungsdichte und hierarchische bzw.

rückgekoppelte Systeme Die stochastische Natur der Bausteine (hohe Toleranzen) und ihre unscharfe Reaktionen auf einen Stimulus wird kompensiert durch eine hohe Parallelität und viel Redundanz.

- Turing Präzisierung des Algorithmenbegriffes durch die Turing-Maschine - von Neumann Architektur des heutigen Universalrechners - Shannon Informationstheorie - Shannon & von Neumann Kybernetik (verkörperlichte intelligente Maschinen) Zu jener Zeit war es offen, ob die Entwicklung des mechanisierten/elektronischen Rechnens in die Richtung geht, welche heute die Informatik verkörpert. von Neumann, Oldenburg, 1991 (Silliman Lectures, Yale University, 1956): 1 Endlich ist es mein Anliegen, noch einen anderen Gesichtspunkt herauszuarbeiten.

Ich vermute, dass ein gründlicheres mathematisches Studium des Nervensystems...

Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Das biologische Neuron Das Berechenbarkeitsproblem Der klassische Computer Das biologische Neuron Künstliche Neuronale Netze KNN als alternatives Berechnungsparadigma Berechenbarkeit / Entscheidbarkeit Mathematik / Logik (logisches Modell) Informatik (logisch-konstruktives Modell) Informatik (praktisches Modell) Informatik (Zellularautomaten) Informatik (Neuronale Netze) Historischer Abriß des NN-Paradigmas Charakterisierung neuronaler Netze Netzwerktopologie Allgemeine Begrifflichkeiten Knotendynamik Beispiele für Propagierungsfunktionen Beispiele für Aktivierungsfunktionen Erweiterung des Neuronenmodells Netzwerkdynamik Neuronales Lernen Einfache Neuronenmodelle Mc Culloch-Pitts-Zelle und logische Operationen Konstruktion logischer Funktionen mittels MP-Zellen MP-Netztypen Gewichtete MP-Netze Nachteilige Eigenschaften von MP-Netzen Perzeptron und lineare Entscheidungsprobleme Repräsentation von Entscheidungsfunktionen Interpretation des Skalarproduktes Alternatives Klassifizierungsproblem im Eingaberaum Alternatives Klassifikationsproblem im Gewichtsraum Perzeptron-Lernen I Inhaltsverzeichnis Perzeptron-Lernregel nach Rosenblatt (1958) Konvergenz des Lernalgorithmus Delta-Lernregel für beschleunigtes Lernen Adaline als adaptives lineares System α-lms-algorithmus Offline-Lernen der Parameter eines linearen Systems Lineare Regression über K Stichproben Multivariate Regression Lernen der Parameter eines linearen Systems µ-lms-algorithmus Bewertung der vorgestellten Verfahren Offline-Training versus Online-Training Analytische Lösung versus iterative Lösung Adaptive Signalverarbeitung mittels Adaline System-Identifikation Prädiktion Rauschunterdrückung (noise cancelling) Modellierung eines inversen Systems Nichtlineare Entscheidungsprobleme XOR-Problem und Multilayer-Perzeptron (MLP) Singlelayer-Perzeptron (SLN) und Lerntheorie Polynomiale Klassifikatoren und HON Kodierung von Invarianzen in HON Invarianz durch Mittelwertbildung über eine Gruppe Gruppenmittel für geometrische Transformationen Grundlagen der statistischen Entscheidungstheorie Einführung und Übersicht Begriffe der statistischen Entscheidungstheorie Problembeschreibung eines Entscheidungsprozesses Beispielszenarien eines Entscheidungsprozesses Partitionierung des Stichprobenraumes Bayes-optimale Entscheidungen Risikominimierende Entscheidungen Diskriminanzfunktionen und Entscheidungsgrenzen Fehlerwahrscheinlichkeiten und Entscheidungsfindung Entscheidungsmatrix ROC-Kurven und Neyman-Pearson-Strategie Spezielle Probleme Kombinationen von Entscheidungen Identifikation und Verifikation Normalverteilung der Daten Univariate Normalverteilung Multivariate Normalverteilung II Inhaltsverzeichnis Transformationen normalverteilter Daten Marginale und bedingte Verteilungen (Randverteilungen) Projektion der Daten Eigenwertdarstellung von Σ Mahalanobis-Distanz Diskriminanzfunktionen für Normalverteilungs-Dichten Parameterschätzung und überwachtes Lernen Maximum-Likelihood-Schätzung Bayes-Schätzung Sequentielle Parameterschätzung Robbins-Monro-Algorithmus Sequentielle ML-Parameterschätzung mittels RM- Algorithmus Nichtparametrische Schätzverfahren Histogramme Kernbasierte Methode K-Nächste-Nachbar-Methode Kullback-Leibler-Distanz Dimensionsreduktion des Merkmalsraumes Karhunen-Loeve-Transformation Fisher s lineare Diskriminanzanalyse Mehrschicht-Netze (Multi-Layer-Perzeptron) Lernen in Mehrschichtnetzen, Backpropagation Notation Herleitung des Backpropagation-Verfahrens Implementierung des Backpropagation-Algorithmus Probleme des BP-Lernens Varianten des BP-Lernens Momentum-Verfahren Gewichtsabnahme (weight decay) Quickprop-Verfahren Mehrschichtnetze und Regression Linearer Assoziator und lineare Regression Logistische Regression und Backpropagation Regression im Mehrschichtnetz Levenberg-Marquardt-Algorithmus Statistische Interpretation von Mehrschichtnetzen Ausgabe als a posteriori Wahrscheinlichkeit Ausgabe als bedingter Mittelwert der Zielfunktion Generalisierung und Lernen Plastizitäts-Stabilitäts-Dilemma Bias und Varianz der Abbildungsfunktion Methoden zur Verbesserung der Generalisierung III Inhaltsverzeichnis Regularisierung der Abbildungsfunktion Kontrollierte Veränderung der Systemfreiheitsgrade Generalisierung im Ensemble und Spezialisierung Mehrschichtnetze und Komprimierung von Daten Kodierung und Komprimierung von Daten Bildkodierung mittels Gabortransformation Literaturverzeichnis 223 IV Abbildungsverzeichnis 1.1 Ein kanonisches System Die wichtigsten Komplexitätsklassen Ein neuronales Netz als Graph Ein knn als Blackboxfunktion Vollständiges Fan-in für einen einzelnen Knoten Vollständiges Fan-out für einen einzelnen Knoten Generisches Neuron Aktivierungsfunktionen Neuron mit Schwellenwert Vorwärts gerichtetes Netz Rückkopplung in Netzen Ein kleines rückgekoppeltes Netz Veranschaulichung einer einfachen MP-Zelle MP-Zelle für f AND MP-Zelle für f OR MP-Zelle für f NOT Kanonische MP-Zelle für f NOR Spezielle MP-Zelle für f NOR Kanonische MP-Zelle für f INH Spezielle MP-Zelle für f INH Zwei Variationen eines MP-Netzes für die NAND-Funktion MP-Netz für y := (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) MP-Netz aus Abbildung 2.10 nach angegebenem Konstruktionsprinzip Beispiel eines gewichteten MP-Netzes Einfaches und erweitertes Perzeptron Perzeptron-Netze Lineare Trennbarkeit von f AND Veranschaulichung einer Trenngeraden e Trenngerade für f AND Trenngerade für f OR Darstellung des Skalarproduktes im Eingaberaum Lineare Trennbarkeit - Beispiel Lineare Trennbarkeit - Beispiel Lineare Trennbarkeit im alternativen Eingaberaum Dualität von Eingabe- und Gewichtsraum V Abbildungsverzeichnis 2.24 Veranschaulichte Verwendung einer Fehlerfunktion E(w) Fehlerfunktion mit Berücksichtigung des Schwellwertes w Beispiel eines Korrekturschrittes im Perzeptron-Lernalgorithmus Beispiel für die Lernkonvergenz des Perzeptrons für Ω = P = Differenzvektor der Schwerpunkte von P L und N L Beziehung zwischen w und w(t 1) Erweitertes Adaline mit 4 Eingabeleitungen Beispiel einer Gewichtskorrektur im α-lms-algorithmus Veranschaulichung einer linearen Regression Veranschaulichung einer multivariaten Regression Lineares System mit Fehlerkückkopplung Beispiel einer konvexen Fehlerfunktion Darstellung eines Gradientenabstiegs Lernkurven in Abhängigkeit der Schrittweite Gewichtskurven in Abhängigkeit der Schrittweite Veranschaulichung des Querschnitts einer Fehlerkurve Darstellung eines Adaline Adaline als digitaler Filter Adaline im Zusammenspiel mit einen unbekannten realen System Vorhersagefilter mittels Adaline Beispiel einer Adalineprädiktion Prädiktion eines Lorenz-Attraktors mittels quaternionischen Clifford-Neuronen. Unten: links MLP (13 verdeckte Knoten), rechts quaternionisches Spinor-CMLP (4 verdeckte Knoten) Rauschunterdrückung mittels adaptivem Filter Problemstellung Schwangerschafts-EKG Angewandte Rauschunterdrückung für ein Schwangerschafts-EKG MTF Schaltung zum Erlernen inverser Systeme Koordinatentransformation Nichtlineare Eigenwerttransformation Daten (oben) und Eigenbilder der drei Klassen (unten) Trennung der Klassen aus Abbildung 2.53 mittels Hypersphären Mit einem Perzeptron realisierbare und nicht realisierbare Trennfunktionen Berechnung von f XOR mittels Perzeptronen Beispiel eines Multilayer-Perzeptrons Alternative Aufteilung des Eingaberaums Berechnung von f XOR mittels SLN Identifikation von Clustern im R 2 mittels Perzeptron Trennbarkeit von 3 Punkten mittles Perzeptronen Beispiel einer Gebietstrennung mittles Polynomfunktion Ellipse und Hyperbel in allgemeiner Lage VI Abbildungsverzeichnis 2.64 XOR-Problem im 3D-Raum Euklidische 2D-Ähnlichkeitstransformation: Trainingdaten (links) und Testdaten (rechts) Euklidische 2D-Ähnlichkeitstransformation: Konvergenz des Lernens Euklidische 2D-Ähnlichkeitstransformation: Rauschabhängigkeit der Resultate Ähnliche Dreiecke Beispiel mehrerer Realisierungen einen stochastischen Prozesses Synopsis der statistischen Entscheidungsfindung Diskriminanzfunktionen bei einer 2-Klassen-Trennung Entscheidungstabelle Konturbildbeispiele ROC-Kurven Trade-off zwischen Sensitivität und Spezifität Veranschaulichung des Minimum-Distanz-Klassifikators Veranschaulichung der Voroni-Zerlegung eines Merkmalsraums Nicht-Orthogonalität von Hyperebene und Verbindungslinie Verschiedene Formen von Trennhyperebenen Schärfung der Gewichtsfunktion durch Bayes-Lernen Stochastisch gestörte Funktion und ihre nichtlineare Regressionsfunktion Iterative ML-Parameterschätzung für eine Normalverteilung Zur optimalen Wahl einer Urnengröße Beispiel eines Volumens bzw.

einer Urne einer Kerndichteschätzung (kernel estimation) Kerndichteschätzung in Abhängigkeit von der Urnengröße Beispiel einer Klassifizierung nach 7NN-Regel Support-Vektoren Hauptachsentransformation der Cooccurrence-Matrix und ihre marginalen Häufigkeiten Architektur eines MLP Fit und Overfit beim Lernen Gradientenabstieg für unterschiedliche Lernraten Eingaberaum eines 2-dim.

Eigenschaften von knn: Robustheit (Unempfindlichkeit gegenüber Änderungen der Modellvoraussetzungen, hier: oft völliger Verzicht auf Modelle) Adaptivität (Anpassung der Berechnungsvorschriften an Änderungen der Voraussetzungen) Die Realisierung (Simulation) eines knn auf klassischen Computer kann nie dessen Berechenbarkeitsgrenzen überschreiten! Beispiel: Eine Katze wird repräsentiert durch die Pixel eines digitalen Bildes (endlicher Zustandsraum zur Beschreibung der Katze) KNN als alternatives Berechnungsparadigma Seit den 30er und 40er Jahre des 20.

In der Tat, die Beschaffenheit des Zentralnervensystems und des von ihm übertragenen Nachrichtensystems weist positiv darauf hin, dass es sich so verhält Berechenbarkeit / Entscheidbarkeit I System O Abbildung 1.1: Ein kanonisches System.

unser Verständnis der betreffenden Gebiete der Mathematik selbst beeinflussen wird.

Dadurch wird möglicherweise unsere Ansicht über die eigentliche Mathematik und Logik modifiziert.

5 1 Einführung 2 Man sollte sich vergegenwärtigen, dass Sprache im wesentlichen ein historischer Zufall ist...

Ebenso wie Sprachen, wie das Griechische oder Sanskrit, historische Tatsachen und keine absoluten Notwendigkeiten sind, kann man vernünftigerweise annehmen, dass Logik und Mathematik in ähnlicher Weise historische, zufällige Ausdrucksformen sind....

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